Introduction.
L’ordre d’apparition des 10 chiffres du système décimal dans Pi et le Nombre d’Or (Phi), deux constantes fondamentales des mathématiques, n’est pas aléatoire mais s’inscrit dans une logique arithmétique. Cette logique arithmétique est identique pour Pi, pour son inverse et pour le Nombre d’Or. Le même phénomène arithmétique s’observe dans de nombreux autres nombres dont les racines carrées des nombres 2, 3 et 5, les trois premiers nombres premiers.
Quatre zones d’apparition.
Dans ces constantes les chiffres apparaissent en 4 zones d’apparition toujours identiques de 1, 2, 3 et 4 chiffres. Les sommes des chiffres (confondus en nombres) de chacune de ces 4 zones est toujours un multiple d’un même diviseur de 45. Ce nombre 45 est la somme des dix chiffres (confondus en nombres) du système décimal. Ces zones sont toujours : zone de 1 chiffre : rang 4 (d’apparition) ; zone de 2 chiffres : rang 2 - 3 ; zone de 3 chiffres : rang 1 - 5 - 6 ; zone de 4 chiffres : rang 7 - 8 - 9 - 10. Ce diviseur est selon les constantes : 3, 5 ou 9, les trois diviseurs possibles de 45.
Pi, 1/Pi et Phi.
a = constante b = rang d'apparition c = chiffres classés par rang d'apparition d = arrangements arithmétiques
Ainsi, au rang 4 (zone 1 d’apparition), apparaît 9 pour Pi et 0 pour Phi : ces deux nombres sont multiples de 9. Au rang 2 et 3 (zone 2 d’apparition) apparaissent 4 et 5 pour Pi et 1 et 8 pour Phi : la somme respective de ces nombres est multiples de 9. Il en va ainsi pour les zones 3 et 4 (rangs d’apparition respectifs : 1 - 5 - 6 et 7 - 8 - 9 -10) : les sommes respectives de ces zones d’apparition sont multiples de 9.
Racines carrées des nombres 2, 3 et 5.
Comme pour Pi et Phi, dans les racines carrées des nombres 2, 3 et 5, les valeurs des mêmes groupements décrits plus haut (4 zones d’apparition de chiffres) sont toujours multiples du même diviseur : 3 pour racine de 2, 5 pour racine de 3 et 9 pour racine de 5. Ces trois valeurs différentes sont les trois diviseurs possibles de 45, la somme des dix chiffres du système décimal.
Probabilité de 1/18 et de 1/350.
La probabilité d’apparition de telles configurations organisées en 4 zones multiples de3, 5 ou 9 (les trois diviseurs de 45) est de 1/18. Donc seulement 5,55 % de toutes les combinaisons possibles (d’apparition de chiffres) ont ces propriétés. Il est singulier que ce phénomène se produise précisément pour Pi, Phi (et leurs inverses) et les racines carrées des trois premiers nombres premiers. Pour Pi, 1/Pi et Phi, la probabilité d'apparition des configurations décrites ci-dessus en 4 zones multiples de 9 n'est que de 1/350.
Racine carrée de 4,5.
Ce phénomène se produit également pour la racine carré du nombre 4,5 qui est précisément la moyenne des 10 chiffres du système décimal :
Dans ce nombre, un autre phénomène singulier apparaît : du premier au dixième rang, les chiffres apparaissent de manière parfaitement symétrique en formant des groupes de deux nombres dont le total est toujours égal à 9. La probabilité d’apparition de ce phénomène arithmétique est de 1/945.
Singularité pour 1/Pi et 1/Phi.
Dans les constantes 1/Pi et 1/Phi, les mêmes chiffres apparaissent dans les 4 mêmes zones d’apparition définies plus haut. Ce phénomène singulier n’a qu'une probabilité de se produire que de 1 sur 12 600.
Variante intégrant Pi, Phi, e et i.
Dans cette constante intégrant Pi, Phi, e et i:
les six premiers et quatre derniers chiffres sont identiques au constantes 1/Pi et 1/φ. Aussi, cette formule intégrant Pi, Phi, e mais aussi le nombre imaginaire i, quatre constantes mathématiques fondamentales, produit un nombre dont la première apparition des chiffres des décimales s’organise dans les quatre mêmes zones arithmétiques multiples d’un diviseur de 45. C’est la formule, variante d’une fraction continue de Rogers-Ramanujan :
Apparitions des décimales non aléatoires.
Dans un article plus complet (http://pagesperso-orange.fr/jean-yves.boulay/pi/index.htm) l’auteur décrit de plus amples phénomènes où de nombreux autres nombres dérivés de Pi, Phi mais aussi de e (la constante d’Euler) présentent les mêmes propriétés arithmétiques décrites ici. Cet article suggère que l’ordre d’apparition des décimales des constantes évoquées ne peut être aléatoire du fait que les premières décimales ne le sont pas. Aussi, il est proposé dans cet article de considérer une nouvelle famille de nombre possédant ces propriétés arithmétiques.
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